State Space Models

Diagonal SSM 系统

连续 Diagonal SSM 系统：一般考虑如下 Diagonal SSM LTI 系统

$$\begin{array}{rl}\dot{x}(t)& =Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0\\ y(t)& =Cx(t)\end{array}$$

其中 $u(t)\in \mathbb{R}$，$x(t)\in {\mathbb{C}}^N$，$y(t)\in \mathbb{R}$ （一般使用取实部操作），$A\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$，$B\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$，$C\in {\mathbb{C}}^{1\times N}$。

ZOH 离散化公式：连续矩阵转化为离散矩阵：

$$\bar{A}=\exp (A\Delta )=\text{diag}(e^{A_1\Delta },\dots ,e^{A_N\Delta })\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$$ $$\bar{B}=(\bar{A}-I)A^{-1}B\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$$

其中 $\Delta \in {\mathbb{R}}^{+}$ 是可学习的参数，$C$ 不参与离散。

离散递归方程 (RNN Mode): $$x_k=\bar{A}{x}_{k-1}+\bar{B}{u}_k,y_k=\text{Re}(C{x}_k)+D{u}_k$$

能控性与能观性分析

Kalman 结论保证如果连续系统是能控/能观的，那么离散化系统也是能控的，除非采样周期 $\Delta$ 满足特定的病态条件（未调研）。下面默认使用连续系统矩阵。

能控性分析

能控性矩阵：能控性矩阵为：

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \dots & A^{n-1}B\end{array}\right]$$

能控性分析：Diagonal SSM 能控当且仅当 $A$ 的特征值互不相同且 $B$ 所有元素非零。

证明：设 $A=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$，且 $B=[b_1,b_2,\dots ,b_n{]}^T$。计算能控性矩阵 $\mathcal{C}$ 的各项：

• 第 1 列 ($B$): $[b_1,b_2,\dots ,b_n{]}^T$
• 第 2 列 ($AB$): $[{\lambda }_1{b}_1,{\lambda }_2{b}_2,\dots ,{\lambda }_n{b}_n{]}^T$
• 第 $k$ 列 ($A^{k-1}B$): $[{\lambda }_1^{k-1}{b}_1,{\lambda }_2^{k-1}{b}_2,\dots ,{\lambda }_n^{k-1}{b}_n{]}^T$

此时，能控性矩阵 $\mathcal{C}$ 可以分解为两个矩阵的乘积：

$$\mathcal{C}=\underset{\text{对角阵 }{\Sigma }_B}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& 0& \dots & 0\\ 0& b_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & b_n\end{array}\right]}}\cdot \underset{\text{范德蒙德矩阵 (Vandermonde Matrix) }V}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2& \dots & {\lambda }_1^{n-1}\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2& \dots & {\lambda }_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\lambda }_n& {\lambda }_n^2& \dots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right]}}$$

即 $\mathcal{C}=\text{diag}(B)\cdot V$。为了使 $\mathcal{C}$ 满秩 ($\det (\mathcal{C})\ne 0$)，必须满足两个条件：

• 输入必须能直接影响每一个状态分量：$\det (\text{diag}(B))\ne 0$，即 $b_i\ne 0,\forall i$。
• 范德蒙德矩阵满秩：$\det (V)\ne 0$，而 $\det (V)={\prod }_{1\le i<j\le n}({\lambda }_j-{\lambda }_i)$。这要求 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$ 必须互不相同 (Distinct Eigenvalues)。

能观性分析

能观性矩阵：

$$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$$

能观性分析：Diagonal SSM 能观当且仅当 $A$ 所有特征值不相同，$C$ 所有元素非零。

证明：与能控性类似。